Le
code de Reed-Solomon est un
Code correcteur basé sur les corps de galois dont le principe est de construire un
Polynôme à partir des symboles à transmettre et de le suréchantillonner. Le résultat est alors envoyé, au lieu des symboles originaux. La
Redondance de ce suréchantillonnage permet au recepteur du message encodé de reconstruire le polynôme même s'il y a eu des erreurs pendant la transmission.
Histoire
Ce code est dû à Irving S. Reed et Gustave Solomon.
Principe intuitif du codage Reed-Solomon
Imaginons un bloc de 3 octets de long et que l'on transmet: 02. 09. 12.
On ajoute deux octets de redondance. Le premier est la somme des trois octets (=23) Le deuxième est la somme pondérée des 3 octets : chaque octet est multiplié par son rang : 2*1 + 09*2 + 12*3 soit 56. A la sortie du codeur le bloc devient 02. 09. 12. 23. 56.
Suite à une perturbation , le récepteur reçoit le bloc : 02. 13. 12. 23. 56.
Le décodeur fait la somme simple 02+13+12=27 et la somme pondérée 2*1 + 13*2 + 12*3=64. La différence des sommes simples (27-23) donne la valeur de l'erreur (=4) et la différence des sommes pondérées divisée par l'erreur est égale à au rang de l'erreur ((64-56)/4=2). Il faut donc retirer 4 à l'octet de rang 2
Sans erreur ajoutée, la différence des sommes simples et sommes pondérées est nulle dans les 2 cas
Propriétés du codage Reed-Solomon
La longueur maximale d’un code de Reed – Solomon est définie comme :
n=k+2t
n = 2 m -1
Avec : m : nombre de bits par symbole
k : nombre de symboles d’information, appelé charge utile
n: nombre de symboles transmis (charge utile et correction d'erreur)
2t : nombre de symboles de contrôle;
Si la localisation des erreurs n'est pas connue à l'avance - et c'est le cas en pratique -le principe du codage Reed-Solomon fait qu'il sait corriger (n-k)/2 erreurs
En général, un symbole sera un octet et donc S=8 (car un octet = 8bits)
n étant souvent trop important (255) pour l'application utilisée, une partie des informations peut être remplacée par des zéros avant encodage et ne sera pas transmise, mais devra être ajoutée avant décodage. On parle dans ce cas de code reed-solomon raccourci (shortened Reed-Solomon codes)
Souvent, on a T =8, n = 255 (au max), k = 239 (max)
On note un codage RS par RS (n,k) ou RS(n,k,t)
Applications
pour le CD, on a un code C1 = RS(28, 24) et un code C2 = RS(32, 28)
pour le DVD, on a un code PI= RS(182, 172) et un code PO = RS(208, 192)
- transmission par satellite
pour le DVB, le codage est RS(204, 188, t=8)
En ADSL, le codage est souvent RS(240,224,t=8) ou encore RS(255,239,t=8)
Exemple de Reed-Solomon
pour le DVB, le codage sera renseigné RS (204, 188) ou encore RS (204, 188, 8)
Pour 188 (=k) octets en entrée, on ajoute 16(=2t) octets de correction d'erreur, ce qui donne 204 en sortie du codeur.
8 octets (=t) sur 204 peuvent être corrigés.
Si plus de 8 octets sont détectés comme erronés, le bloc de données utiles est marqué comme défectueux. Aucune erreur n'est alors corrigée
Faiblesse du codage Reed-Solomon
Suite au faible nombre de symboles que le codage Reed-Solomon peut corriger, ce codage est très mauvais en cas de bruit impulsif de longue durée, ou de bruit aléatoire régulier.
- pour la transmission de données (ADSL, DVB-T), le bruit impulsif peut être dû à des moteurs, relais, néons, clôture électrique.
- pour le stockage de données (CD, DVD), le bruit impulsif peut être dû à une griffe sur le support.
Utilisation pratique du codage Reed-Solomon dans un modem avec codeur convolutif
En général, en émission, dans un modem (ADSL, modem satellite IDR/SMS, DVB-S, etc ), le codage Reed-Solomon, renforcé par un entrelaceur est accompagné d'un codeur convolutif. En réception,les erreurs résiduelles non corrigées par le décodeur de Viterbi seront alors désentrelacées dans les blocs d'origines et corrigées par le décodeur Reed-Solomon dans la mesure de son pouvoir correcteur.
Le but du désentrelaceur est de remplacer en réception, une salve d'erreurs regroupées et souvent non-corrigeables (bruit impulsif) pour une multitude d'erreurs réparties et et souvent corrigeables pour le décodeur de Reed-Solomon
Lien externe